A. Pengertian Probabilitas
Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.
- Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.
- Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).
Rumus :
P (E) = X/N
P: Probabilitas
E: Event (Kejadian)
X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)
N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi
Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.
Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:
- Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
- Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
- Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.
B. Manfaat Probabilitas dalam Peneitian
- Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
- Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
- Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi.
P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+b
Contoh:
Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?
Jawab:
P (A) = 15/10+15 = 3/5
2. Pendekatan Relatif
Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :
Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan
Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N
Contoh:
Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?
Jawab:
P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80
3. Pendekatan Subjektif
Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.
D. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas
Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.
- Saling meniadakan (mutually exclusive)
Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:
Contoh:
Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:
P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6
- Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)
Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:
Dua Kejadian
P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)
Tiga Kejadian
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.
- Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.
Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :
P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
2. Hukum Perkalian
- Hukum Bebas (independent)
Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.
P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)
Contoh soal 1:
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:
P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Contoh soal 2:
Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:
P (H) = ½, P (3) = 1/6
P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12
- Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.
P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)
Contoh :
Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52
Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51
P (as II │as I) = 3/51
P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221
E. Diagram Pohon Probabilitas
Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.
Contoh:
F. Ruang Sampel dan Titik Sampel
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.
Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.
Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :
n = jumlah total objek yang disusun
r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil
Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?
jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)
Permutasi Unsur-unsur yang sama
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :